Question

设函数f(x)＝mx²－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：(1)要使mx²－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0；

若m≠0，则⇒－4<m<0.

所以－4<m≤0.

(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，即

m²＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

法一：令g(x)＝m²＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)_max＝g(3)⇒7m－6<0，

所以m<，则0<m<；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)_max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.

综上所述：m的取值范围是.

法二：因为x²－x＋1＝²＋>0，

又因为m(x²－x＋1)－6<0，

所以m<.

因为函数y＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以，m的取值范围是.