Question

已知直线l：y=2x-

3

与椭圆C：

x2

a2

+y2=1  (a＞1)交于P，Q两点．
（1）设PQ中点M（x₀，y₀），求证：x0 ＜

3

2

（2）椭圆C的右顶点为A，且A在以PQ为直径的圆上，求△OPQ的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）设出交点坐标，再联立直线与椭圆的方程并且整理可得：（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，再利用根与系数的关系表示出中点的横坐标，进而得到答案．
（2）由题意可得：

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，因为点在直线上，所以可得5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，再由（1）可得关于a的方程，进而结合题意求出a的值．联立

y=2x- 3 x2 3 +y2=1

，得13x2-12

3

x+6=0，由弦长公式得|PQ|=

(1+4)[( 12 3 13 )2 -4× 6 13 ]

=

10 6

13

，由点到直线距离公式，得坐标原点O到直线y=2x-

3

的距离d=

|- 3 |

5

=

15

5

，由此能求出△OPQ的面积．

解答：（1）证明：设直线与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，由题意可得：右顶点A（a，0），
将y=2x-

3

代入x²+a²y²-a²=0中整理得（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，
所以根据根与系数

x1+x2=  4 3 a2 4a2+1 ① x1x2=  2a2 4a2+1 ②

，
∵M（x₀，y₀）为PQ中点，
∴x₀=

x1+x2

2

=

2 3 a2

4a2+1

=

3

2

-

3

2(4a2+1)

，
所以x₀＜

3

2

（2）解：因为以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，
 又因为y₁=2x₁-

3

，y₂=2x₂-

3

所以（x₁-a）（x₂-a）+（2x₁-

3

）（2x₂-

3

）=0，
整理可得：5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，…③
 将①②代入③得：4a⁴-4

3

a³-a²+3=0
∴（a-

3

）（4a²-a-

3

）=0，
∵a＞1，则4a²-a-

3

＞0，
所以a=

3

，所以椭圆方程为

x2

3

+y²=1．
联立

y=2x- 3 x2 3 +y2=1

，
消去y，并整理得13x2-12

3

x+6=0，
∴x1+x2=

12 3

13

，x1x2=

6

13

，k=2，
∴|PQ|=

(1+4)[( 12 3 13 )2 -4× 6 13 ]

=

10 6

13

，
坐标原点O到直线y=2x-

3

的距离d=

|- 3 |

5

=

15

5

，
∴△OPQ的面积S=

1

2

×

10 6

13

×

15

5

=

3 10

13

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，并且考查学生运算能力与分析问题解决问题的能力．