【题目】三棱柱中,
为
的中点,点
在侧棱
上,
平面
.
(1)证明:是
的中点;
(2)设,四边形
为正方形,四边形
为矩形,且异面直线
与
所成的角为30°,求两面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)二面角的余弦值为
.
【解析】
(1)取的中点
,利用中位线得出
利用线面平行的判定,得出
平面
,利用面面平行的判定得出平面
平面
进而得出
而
为
的中点,所以
为
的中点。
(2)建立直角坐标系,设,
,利用异面直线
与
所成的角为30°,求出
进而求出二面角
的余弦值。
(1)证明:取的中点
,连
、
,因为
为
中点,所以
.
平面
,
平面
,
平面
.
又由已知平面
,
且,所以平面
平面
.
又平面
,所
平面
.
而平面
,且平面
平面
,所以
,而
为
的中点,所以
为
的中点.
(2)由题设知:、
、
两两垂直,以
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系
.
设,
,则
,
,
,
,
,
所以,
.因为异面直线
与
所成的角为30°,
所以
,解得:
,于是
.
设平面的法向量为
,因为
,
所以,取
,则
,所以
.
又是平面
的一个法向量,所以
,
即二面角的余弦值为
.
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【题目】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值
如下表:
身高x(cm) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
体重y(kg) | 6.13 | 7.90 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.50 | 20.92 | 26.86 | 31.11 |
已知与
之间存在很强的线性相关性,
(Ⅰ)据此建立与
之间的回归方程;
(Ⅱ)若体重超过相同身高男性体重平均值的倍为偏胖,低于
倍为偏瘦,那么这个地区一名身高
体重为
的在校男生的体重是否正常?
参考数据:
附:对于一组数据,其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
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【题目】已知的内角
、
、
的对边分别为
、
、
,
为
内一点,若分别满足下列四个条件:
①;
②;
③;
④;
则点分别为
的( )
A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心
C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心
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【题目】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C2
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【题目】如图,两铁路线垂直相交于站,若已知
千米,甲火车从
站出发,沿
方向以
千米
小时的速度行驶,同时乙火车从
站出发,沿
方向,以
千米
小时的速度行驶,至
站即停止前行(甲车扔继续行驶)(两车的车长忽略不计).
(1)求甲、乙两车的最近距离(用含的式子表示);
(2)若甲、乙两车开始行驶到甲,乙两车相距最近时所用时间为小时,问
为何值时
最大?
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【题目】设{an}是公比为 q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
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