Question

设数列{a_n} 的首项为a₁=1，前n项和为S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），n∈N*．
（1）求a₂的值及数列{a_n} 的通项公式a_n；
（2）若数列 {b_n} 满足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，当n≥2，记．
①计算E₉的值；
②求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意数列{a_n} 的首项为a₁=1，前n项和为S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），利用数列的前n项和求出通项即可；
（2）①有数列 {b_n} 满足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，先推导出通项公式，②并对该式子分奇偶进行讨论求出2n-，并有导出的通项公式代入，再利用数列的极限求得．
解答：解：（1）因为有已知：na_n-S_n=2n（n-1），a₂=5，
     当n≥2时，（n-1）a_n-1-S_n-1=2（n-1）（n-2），
∴na_n-（n-1）a_n-1-S_n+S_n-1=2n（n-1）-2（n-1）（n-2），
    即（n-1）（a_n-a_n-1）=4（n-1）（n≥2），∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
    故数列{a_n}是公差为4的等差数列，
∴a_n=4n-3（n∈N⁺）；
（2）由于数列 {b_n} 满足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，
∴4b_n=2n²-1+（-1）ⁿ（n∈N⁺），∴，
故，
当n为大于0的偶数时，，
当n为大于1的奇数时，
，
∴E₉=（b₁+b₃+b₅+b₇+b₉）+（b₂+b₄+b₆+b₈）=
当n＞1，且n∈N⁺时，若n为偶数，则，
                       若n为大于1的奇数，则，
∴  
∴．
点评：此题考查了学生的分类讨论的能力及严谨的逻辑推导能力，还考查了已知数列的前n项的和求数列的通项，数列的极限．