精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设数列an的首项a1=
1
2
,且an+1=
1
2
an,n是偶数
an+
1
4
是奇数
,记bn=a2n-1-
1
4
,n=1,2,3…

(1)求a2•a3
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(3)证明b1+3b2+5b3+…+(2n-1)bn
3
2
分析:(1)利用数列递推式,代入计算可得结论;
(2){bn}是等比数列,利用bn=a2n-1-
1
4
,n=1,2,3…
,代入计算可可以证明;
(3)利用错位相减法求和,即可证得结论.
解答:(1)解:由题意,a2=a1+
1
4
=
3
4
,a3=
1
2
a2=
3
8
---------------------------------(4分)
(2)解:{bn}是等比数列
证明如下:因为bn+1=a2n+1-
1
4
=
1
2
a2n-
1
4
=
1
2
(a2n-1-
1
4
)=
1
2
bn,(n∈N*
所以{bn}是首项为
1
4
,公比为
1
2
的等比数列
所以bn=(
1
2
)n+1
-----(8分)
(3)证明:(2n-1)bn=(2n-1)•(
1
2
)
n+1

令Sn=b1+3b2+5b3+…+(2n-1)•(
1
2
)
n+1
=
1
4
+3•(
1
2
)3
+…+(2n-1)•(
1
2
)
n+1
①,则
1
2
Sn=(
1
2
)
3
+3•(
1
2
)
4
+…+(2n-3)•(
1
2
)
n+1
+(2n-1)•(
1
2
)
n+2

①-②可得
1
2
Sn=
1
4
+2•(
1
2
)
3
+2•(
1
2
)
4
+…+2•(
1
2
)
n+1
-(2n-1)•(
1
2
)
n+2

∴Sn=
3
2
-(
1
2
)n-1-(2n-1)•(
1
2
)n+1
,显然小于
3
2
---------(13分)
点评:本题考查数列递推式,考查等比数列的证明,考查错位相减法,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式tSn-(t+1)Sn-1=t(t>0,n∈N*,n≥2).
(Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f(
1bn-1
)
(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)数列{bn}满足条件(Ⅱ),求和:b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}的首项a1∈(0,1),an=
3-an-1
2
,n=2,3,4…
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an
3-2an
,求证bn<bn+1,其中n为正整数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}的首项a1=1,其前n项和Sn满足:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,…).
(Ⅰ)求证:数列{an}为等比数列;
(Ⅱ)记{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f(
1bn-1
) (n=2,3,…)
,求和:b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,四边形OABP是平行四边形,过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N,若 
OM
=x
OA
ON
=y
OB

(1)利用
NM
MP
,把y用x表示出来(即求y=f(x)的解析式);
(2)设数列{an}的首项a1=1,前 n项和Sn满足:Sn=f(Sn-1)(n≥2),求数列{an}通项公式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}的首项a1=
5
3
an+1=
2
3
+
1
3
an
(n∈N+
(1)求证:数列{an-1}为等比数列;
(2)记Sn=a1+a2+a3+┉+an,求Sn的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案