Question

如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若 

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

（1）利用

NM

∥

MP

，把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；
（2）设数列{a_n}的首项a₁=1，前 n项和S_n满足：S_n=f（S_n-1）（n≥2），求数列{a_n}通项公式．

Answer 1

分析：（1）用

OA

，

OB

分别表示

NM

，

MP

，再利用向量共线的条件，即可得到结论；
（2）当n≥2时，由S_n=f（S_n-1）=

Sn-1

Sn-1+1

，则

1

Sn

-

1

Sn-1

=1，可得数列{

1

Sn

}是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项．

解答：解：（1）∵

OP

=

AB

=

OB

-

OA

，∴

MP

=

OP

-

OM

=-(1+x)

OA

+

OB

∵

NM

=

OM

-

ON

=x

OA

-y

OB

，

NM

∥

MP

，
∴x-y（1+x）=0，
∴y=

x

x+1

即函数的解析式为：f（x）=

x

x+1

（0＜x＜1）；
（2）当n≥2时，由S_n=f（S_n-1）=

Sn-1

Sn-1+1

，则

1

Sn

-

1

Sn-1

=1
又S₁=a₁=1，那么数列{

1

Sn

}是首项和公差都为1的等差数列，
则

1

Sn

=n，即S_n=

1

n

n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

n-n2

；n=1时，a₁=1
故a_n=

1，n=1 1 n-n2 ，n≥2

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量共线的条件，考查等差数列的证明，考查求数列的通项，属于中档题．