Question

已知．

（Ⅰ）判断在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值；

（III）若在上恒成立，试求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）的定义域为

…………………………1分

当时，

∴   因此在定义域上为单调递增函数．……………………2分

当时，则，；，；

此时，在上为单调递增函数，在上为单调递增函数．…………4分

（Ⅱ）（1）令在上恒成立，即

∴．

令，此时在上为增函数．

∴，

得（舍去）．…………………………6分

（2）令在上恒成立，即

∴．

令，此时在上为减函数．

∴，

得（舍去）．…………………………8分

（3）当时，令，得．

当时，，∴在上为减函数．

当时，，∴在上为增函数．

∴

得．

综上可知，．…………………………10分

（III）由，得，

∵，∴有，

令，则．…………………………12分

令，则，

∵，∴，∴在上单调递减，

∴，

因此，故在上单调递减，…………………………14分

则，

∴的取值范围是．