Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点F（-c，0）且斜率为-

3

4

的直线l与两条准线交于M，N两点，以MN为直径的圆过原点，且
点（3，2）在双曲线上，求此双曲线方程．

Answer 1

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由点（3，2）在双曲线上，知

9

a2

-

4

b2

=1由直线方程：y=-

4

3

（x+c）及准线方程知5a²=3c²，解得a²=3，b²=2，由此能求出双曲线方程．

解答：解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵点（3，2）在双曲线上，
∴

9

a2

-

4

b2

=1，①
∵以MN为直径的圆过原点，
∴那条直线与y轴的交点D（即MN的中点）为圆心，
∴|OD|=|MD|=|DN|，
由直线方程：y=-

3

4

（x+c）及准线方程知：

3

4

c=

1+( 3 4 )2

•

a2

c

，
∴5a²=3c²，②
联立①②，解得a²=3，b²=2，
∴双曲线方程为

x2

3

-

y2

2

=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．