Question

15．球面上四点A，B，C，D满足AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2，若三棱锥D-ABC体积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则这个球体的表面积为$\frac{100π}{9}$．

Answer 1

分析 确定AB⊥AC，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三棱锥D-ABC的体积的最大值为3，可得D到平面ABC的最大距离为3，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2，
∴AB⊥BC，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵三棱锥D-ABC的体积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴D到平面ABC的最大距离为3，
设球的半径为R，则1²=3×（2R-3），
∴R=$\frac{5}{3}$，
∴球O的表面积为4πR²=$\frac{100π}{9}$．
故答案为：$\frac{100π}{9}$

点评 本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离为3是关键．