Question

4．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）试比较2016²⁰¹⁷与2017²⁰¹⁶的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（e）=$\frac{1}{e}$，无极小值；
（Ⅱ）∵f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）递减，
∴$\frac{ln2016}{2016}$＞$\frac{ln2017}{2017}$，
∴2017ln2016＞2016ln2017，
∴2016²⁰¹⁷＞2017²⁰¹⁶．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查函数单调性的应用，考查导数的应用，是一道中档题．