Question

【题目】某经销商计划销售一款新型的电子产品，经市场调研发现以下规律：当每台电子产品的利润为x(单位：元，x＞0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过25，则q(x)＝ ；若x大于或等于225，则销售量为零；当25≤x≤225时，q(x)＝a-b(a，b为实常数)．

(1) 求函数q(x)的表达式；

(2) 当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当x等于100元时，总利润取得最大值2000 000元.

【解析】

（1）由分段函数分界点处函数值相等列方程组，可得到，从而可得函数的表达式；（2）结合（1））根据总利润为每台的利润乘以销售量，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可求得分段函数每段的最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值可得结果.

(1) 当25≤x≤225时，由 得

故q(x)＝

(2) 设总利润f(x)＝x·q(x)，

由(1)得f(x)＝

当0＜x≤25时，f(x)＝＝240 000[－]，f(x)在(0，25]上单调递增，

所以当x＝25时，f(x)有最大值1000 000. 当25＜x≤225时，f(x)＝60 000x－4000x，f (x)＝60 000－6000，

令f (x)＝0，得x＝100.

当25<x<100时，f (x)>0，f(x)单调递增，

当100<x≤225时，f (x)<0，f(x)单调递减，

所以当x＝100时，f(x)有最大值2000 000.

当x>225时，f(x)＝0.

答：当x等于100元时，总利润取得最大值2000 000元．