【题目】已知函数.
(1)若函数恰有一个零点,求实数
的取值范围;
(2)设关于的方程
的两个不等实根
,求证:
(其中
为自然对数的底数).
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数m进行讨论得出函数的单调性,根据零点存在性定理判断零点的个数,求出m的取值范围;(2) 记函数,
,则函数
的两个相异零点为
,将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导数求最值的方法证得命题成立.
试题解析:
(1)由题意知的定义域为
,
且.
①当时,
,
在区间
上单调递增,
又,
,
∴,即函数
在区间
有唯一零点;
②当时,
,
令,得
.
又易知函数在区间
上单调递增,
∴恰有一个零点.
③当时,令
,得
,
在区间上,
,函数
单调递增;
在区间上,
,函数
单调递减,
故当时,
取得极大值,
且极大值为,无极小值.
若恰有一个零点,则
,解得
,
综上所述,实数的取值范围为
.
(2)记函数,
,
则函数的两个相异零点为
不妨设,
∵,
,
∴,
,
两式相减得,
两式相加得.
∵,
∴要证,即证
,
只需证,
只需证,
即证,
设,则上式转化为
,
设,
,
∴在区间
上单调递增,
∴,∴
,
即,即
.
点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本题也考查了零点存在性定理的应用,如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
,那么函数
在区间[a,b]内有零点,即存在
,使得
,这个c也就是方程
的实数根.但是反之不一定成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
满足对于任意实数
,
都有
,且当
时,
,
.
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)判断的单调性,并求当
时,
的最大值及最小值;
(3)解关于的不等式
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某经销商计划销售一款新型的电子产品,经市场调研发现以下规律:当每台电子产品的利润为x(单位:元,x>0)时,销售量q(x)(单位:百台)与x的关系满足:若x不超过25,则q(x)= ;若x大于或等于225,则销售量为零;当25≤x≤225时,q(x)=a-b
(a,b为实常数).
(1) 求函数q(x)的表达式;
(2) 当x为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】全国糖酒商品交易会将在四川举办.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系,在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数(万人)与餐厅所用原材料数量
(袋),得到如下数据:
举办次数 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
参会人数 | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(Ⅰ)请根据所给五组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(Ⅱ)若该店现有原材料12袋,据悉本次交易会大约有13万人参加,为了保证原材料能够满足需要,则该店应至少再补充原材料多少袋?
(参考公式:,
)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】春节过后,某市教育局从全市高中生中抽去了100人,调查了他们的压岁钱收入情况,按照金额(单位:百元)分成了以下几组:,
,
,
,
,
.统计结果如下表所示:
该市高中生压岁钱收入可以认为服从正态分布
,用样本平均数
(每组数据取区间的中点值)作为
的估计值.
(1)求样本平均数;
(2)求;
(3)某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动,并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动,赠送方式为:压岁钱低于的获赠两次读书卡,压岁钱不低于
的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示:
现从该市高中生中随机抽取一人,记(单位:张)为该名高中生获赠的读书卡的张数,求
的分布列及数学期望.
参考数据:若,则
,
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设M为满足下列条件的函数构成的集合,存在实数
,使得
.
(1)判断是否为M中的元素,并说明理由;
(2)设,求实数a的取值范围;
(3)已知的图象与
的图象交于点
,,证明:
是
中的元素,并求出此时
的值(用
表示).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下面几种推理中是演绎推理的为( )
A. 由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电
B. 猜想数列的通项公式为
C. 半径为的圆的面积
,则单位圆的面积
D. 由平面直角坐标系中圆的方程为,推测空间直角坐标系中球的方程为
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一个文艺比赛中,12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组,给参赛选手打分,下面是两组评委对同一名选手的打分:
小组A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45
小组B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47
(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值.
(2)你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人土组成的吗?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com