Question

【题目】定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；

（3）解关于的不等式.

Answer 1

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在上是减函数．最大值为6，最小值为-6； （3）答案不唯一，见解析

【解析】

（1）令，求出，再令，由奇偶性的定义，即可判断；

（2）任取，则．由已知得，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由，得到，，再由单调性即可得到最值；

（3）将原不等式转化为，再由单调性，即得，即，再对b讨论，分，，，，共5种情况分别求出它们的解集即可.

（1）令，则，即有，

再令，得，则，

故为奇函数；

（2）任取，则．由已知得，

则，

∴，∴在上是减函数．

由于，则，，．由在上是减函数，得到当时，的最大值为，最小值为；

（3）不等式，即为.

即，即有，

由于在上是减函数，则，即为，

即有，

当时，得解集为；

当时，即有，

①时，，此时解集为，

②当时，，此时解集为，

当时，即有，

①当时，，此时解集为，

②当时，，此时解集为．