【题目】给出下列四个命题:
①在中,若
,则
;
②已知点,则函数
的图象上存在一点
,使得
;
③函数是周期函数,且周期与
有关,与
无关;
④设方程的解是
,方程
的解是
,则
.
其中真命题的序号是______.(把你认为是真命题的序号都填上)
【答案】①③
【解析】
①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性进行判断;
②根据余弦函数的有界性可进行判断;
③利用周期函数的定义,结合余弦函数的周期性进行判断;
④根据互为反函数图象的对称性进行判断.
①在中,若
,则
,则
,由于正弦函数在区间
上为增函数,所以
,故命题①正确;
②已知点,则函数
,所以该函数图象上不存在一点
,使得
,故命题②错误;
③函数的是周期函数,
当时,
,该函数的周期为
.
当时,
,该函数的周期为
.
所以,函数的周期与
有关,与
无关,命题③正确;
④设方程的解是
,方程
的解是
,
由,可得
,由
,可得
,
则可视为函数
与直线
交点的横坐标,
可视为函数
与直线
交点的横坐标,如下图所示:
联立,得
,可得点
,
由于函数的图象与函数
的图象关于直线
对称,
则直线与函数
和函数
图象的两个交点关于点
对称,
所以,命题④错误.
故答案为:①③.
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【题目】如图,在三棱锥中,
,
为
的中点,
平面
,垂足
落在线段
上,
为
的重心,已知
,
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)设点在线段
上,使得
,试确定
的值,使得二面角
为直二面角.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商品每千克定价10元,商家采取了如下的促销方式:
一次购买量 | 促销方式 |
不多于20千克 | 原价出售 |
多于20千克且不多于40千克 | 不多于20千克部分,原价出售 多于20千克部分,九折出售 |
多于40千克 | 不多于20千克部分,原价出售 多于20千克且不多于40千克部分,九折出售 多于40千克部分八折出售 |
(1)求一次购买(单位:千克),此商品的花费
(单位:元)的函数解析式;
(2)某人一次购买此商品400元,问他能购得此商品多少千克?
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【题目】王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁,他们都特别擅长短跑,在某次运动会上,他们四人要组成一个米接力队,王老师要安排他们四个人的出场顺序,以下是他们四人的对话:
甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;
丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒;
王老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求, 据此我们可以断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒的人是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【题目】函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为
.
(Ⅰ)求函数的解析式和当
时
的单调减区间;
(Ⅱ)的图象向右平行移动
个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到
的图象,用“五点法”作出
在
内的大致图象.
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【题目】定义在上的函数
满足对于任意实数
,
都有
,且当
时,
,
.
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)判断的单调性,并求当
时,
的最大值及最小值;
(3)解关于的不等式
.
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