【题目】如图,在三棱锥中,
,
为
的中点,
平面
,垂足
落在线段
上,
为
的重心,已知
,
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)设点在线段
上,使得
,试确定
的值,使得二面角
为直二面角.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)方法一:由重心的性质得出,再由
,结合相似三角形的性质得出
,再利用直线与平面平行的判定定理得出
平面
;
方法二:以为原点,以射线
为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
,利用重心的坐标公式计算出点
的坐标,可计算出
,可证明出
,再利用直线与平面平行的判定定理得出
平面
;
(2)计算出和
,利用向量的坐标运算计算出
,即可得出异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)由,得出
,可求出
的坐标,然后可计算出平面
(即平面
)的一个法向量
和平面
的一个法向量
,由题意得出
,结合空间向量数量积的坐标运算可求出实数
的值.
(1)方法一:如图,连接,因为
是
的重心,
是
的中点,
即,
,
,
,
所以,,又因为
平面
,
平面
,
平面
;
方法二:以为原点,以射线
为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
,
则、
、
、
、
、
,
是
的重心,则点
的坐标为
,
,
,即
,
又因为平面
,
平面
,
平面
;
(2),
,
,
所以异面直线与
所成角的余弦值
;
(3),
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
由,得
,即
,令
,可得
,
,
所以,平面的一个法向量为
,
由,得
,得
,
取,则
,
,
所以,平面的一个法向量为
,
由于二面角为直二面角,所以,
,
则,解得
,合乎题意.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一 厂家在一批产品出厂前要对其进行质量检验,检验方案是: 先从这批产品中任取3件进行检验,这3件产品中优质品的件数记为.如果
,再从这批产品中任取3件进行检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果
,再从这批产品中任取4件进行检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1) 求这批产品通过检验的概率;
(2) 已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为(单位: 元),求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线的普通方程;
(2)在以原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
,过直线
上一点
引曲线
的切线,切点为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC, .点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点
的直角坐标为
,若直线
的极坐标方程为
曲线
的参数方程是
(
为参数).
(1)求直线和曲线
的普通方程;
(2)设直线和曲线
交于
两点,求
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【题目】某企业为打入国际市场,决定从,
两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
项目类别 | 年固定成本 | 每件产品成本 | 每件产品销售价 | 每年最多可生产的件数 |
| 20 | 10 | 200 | |
| 40 | 8 | 18 | 120 |
其中年固定成本与年生产的件数无关,为待定常数,其值由生产
产品的原材料价格决定,预计
.另外,年销售
件
产品时需上交
万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产,
两种产品的年利润
、
与生产相应产品的件数
之间的函数关系,并指明其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列四个命题:
①在中,若
,则
;
②已知点,则函数
的图象上存在一点
,使得
;
③函数是周期函数,且周期与
有关,与
无关;
④设方程的解是
,方程
的解是
,则
.
其中真命题的序号是______.(把你认为是真命题的序号都填上)
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