【题目】已知函数f(x)=sinx,g(x)=lnx.
(1)求方程在[0,2π]上的解;
(2)求证:对任意的a∈R,方程f(x)=ag(x)都有解;
(3)设M为实数,对区间[0,2π]内的满足x1<x2<x3<x4的任意实数xi(1≤i≤4),不等式成立,求M的最小值.
【答案】(1)或
;(2)详见解析;(2)
【解析】
(1)利用诱导公式化简,结合同角三角函数的基本关系式求得
的值,由此求得方程的解.
(2)将分成
和
两种情况,结合零点存在性证得结论成立.
(3)先证得,再证得
,由此求得
的最小值为
.
(1)因为,,所以
,即
,且
.若
,则
,与
矛盾.所以
,从而
.又
,所以
或
.
(2)当时,由
得
,即
是该方程的一个解;
当时,令
.因为
的图像在区间
上连续不断,且
,
,根据零点存在性定理可知,存在
,使得
.因此,当
时,方程
有解
.
综上所述,对任意,方程
都有解.
(3)先证:.
取,
.
再证:当时,都有
,即
.
①若,因为
,于是
,所以
,而
,所以
.
②若,
,
,所以
;
③若,
,
,所以
,
于是对任意满足条件的,都有
.
综上所述,的最小值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为
.
(Ⅰ)求函数的解析式和当
时
的单调减区间;
(Ⅱ)的图象向右平行移动
个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到
的图象,用“五点法”作出
在
内的大致图象.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列结论正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲和乙玩一个猜数游戏,规则如下:已知六张纸牌上分别写有1﹣六个数字,现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张,然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大.甲看了看自己手中的数,想了想说:我不知道谁手中的数更大;乙听了甲的判断后,思索了一下说:我知道谁手中的数更大了.假设甲、乙所作出的推理都是正确的,那么乙手中可能的数构成的集合是_____
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
满足对于任意实数
,
都有
,且当
时,
,
.
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)判断的单调性,并求当
时,
的最大值及最小值;
(3)解关于的不等式
.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com