【题目】设函数有两个极值点
,
,且
.
()求
的取值范围,并讨论
的单调性.
()证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析 : (1)先确定函数的定义域然后求导数,由题意知
,
是方程
的两个均大于-1的不相等的实根,建立不等关系解之即可,在函数的定义域内解不等式
和
,求出单调区间;
(2)是方程
的根,将
用
表示,消去
得到关于
的函数,研究函数的单调性求出函数的最大值,即可证得不等式.
试题解析 :
()由题意知,函数
的定义域是
,
,
且有两个不同的实数根
,
,故
的判别式
,即
,且
,
,①
又,故
.因此
的取值范围是
.
当变化时
与
的变化情况如下表:
极大值 | 极小值 |
因此在区间
和
是增函数,在
上是减函数.
()由题意和①知,
,
,
于是.
设函数,则
.
当时,
,
当时,
,故
在
上是增函数.
于是,当,
.因此
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线y=x+b与函数f(x)=ln x的图象交于两个不同的点A,B,其横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.
(1)求b的取值范围;
(2)当x2≥2时,证明x1·<2.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2018湖北七市(州)教研协作体3月高三联考】已知椭圆:
的左顶点为
,上顶点为
,直线
与直线
垂直,垂足为
点,且点
是线段
的中点.
(I)求椭圆的方程;
(II)如图,若直线:
与椭圆
交于
,
两点,点
在椭圆
上,且四边形
为平行四边形,求证:四边形
的面积
为定值.
【答案】(I);(II)
【解析】试题分析:(1)根据题意可得,
故斜率为
,由直线
与直线
垂直,可得
,因为点
是线段
的中点,∴点
的坐标是
,
代入直线得,连立方程即可得
,
;(2)∵四边形
为平行四边形,∴
,设
,
,
,∴
,得
,将
点坐标代入椭圆
方程得
,
点到直线
的距离为
,利用弦长公式得EF,则平行四边形
的面积为
.
解析:(1)由题意知,椭圆的左顶点
,上顶点
,直线
的斜率
,
得,
因为点是线段
的中点,∴点
的坐标是
,
由点在直线
上,∴
,且
,
解得,
,
∴椭圆的方程为
.
(2)设,
,
,
将代入
消去
并整理得
,
则,
,
,
∵四边形为平行四边形,∴
,
得,将
点坐标代入椭圆
方程得
,
点到直线
的距离为
,
,
∴平行四边形的面积为
.
故平行四边形的面积
为定值
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数,
.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)当时,求证:函数
有两个不相等的零点
,
,且
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴正方向建立平面直角坐标系,曲线
的直角坐标方程是
(
为参数).
(Ⅰ)将曲线的参数方程化为普通方程;
(Ⅱ)求曲线与曲线
交点的极坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
. 判断四边形
是否为梯形,并说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
相交于
两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若,求
的值.
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【题目】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳远(单位:米) | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳绳(单位:次) | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a1 | b | 65 |
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则
(A)2号学生进入30秒跳绳决赛
(B)5号学生进入30秒跳绳决赛
(C)8号学生进入30秒跳绳决赛
(D)9号学生进入30秒跳绳决赛
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