Question

【题目】已知函数．

当时，讨论函数的单调性；

求函数在区间上零点的个数．

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) 当时，在区间上有2个零点；时，在区间上有1个零点.

【解析】

分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2)当时，在单调递增在区间上有一个零点；当时，在单调递增，在区间上有一个零点；当时，在单调递增，在区间上有一个零点；时，时，在单调递增，在上单调递减，在区间上有一个零点；时，在区间上有零点和在区间有一个零点共两个零点.

详解：（1）∵

当时，，此时在单调递增；

当时，

①当时，，恒成立，

∴，此时在单调递增；

②当时，令，

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

即在和上单调递增；

在上单调减；

综上：当时，在单调递增；

当时，在和上单调递增；

在上单调递减；

（2）由（1）知，

当时，在单调递增，，此时在区间上有一个零点；

当时，且，∴在单调递增；，此时在区间上有一个零点；

当时，令（负值舍去）

①当即时，在单调递增，，此时在区间上有一个零点；

②当即时，

若即时，在单调递增，在上单调递减，

，此时在区间上有一个零点；

若即时，在单调递增，在上单调递减，

，此时在区间上有零点和在区间有一个零点共两个零点；

综上：当时，在区间上有2个零点；

时，在区间上有1个零点.