【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(Ⅰ)求证:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.
【答案】解:(Ⅰ)证明:因为底面ABCD是正方形,
所以AB∥CD.
又因为AB平面PCD,CD平面PCD,
所以AB∥平面PCD.
又因为A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
所以AB∥EF.
(Ⅱ)证明:在正方形ABCD中,CD⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
又AF平面PAD
所以CD⊥AF.
由(Ⅰ)可知AB∥EF,
又因为AB∥CD,所以CD∥EF.由点E是棱PC中点,所以点F是棱PD中点.
在△PAD中,因为PA=AD,所以AF⊥PD.
又因为PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.
【解析】(Ⅰ)证明:AB∥平面PCD,即可证明AB∥EF;(Ⅱ)利用平面PAD⊥平面ABCD,证明CD⊥AF,PA=AD,所以AF⊥PD,即可证明AF⊥平面PCD;
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想).
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【题目】如图所示,在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心O作为起点作射线OC,OD,则使∠AOC+∠BOD<45°的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知向量 =(1,2),
=(﹣2,m),
=
+(t2+1)
,
=﹣k
+
,m∈R,k、t为正实数.
(1)若 ∥
,求m的值;
(2)若 ⊥
,求m的值;
(3)当m=1时,若 ⊥
,求k的最小值.
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【题目】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
是否需要志愿 性别 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附:
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>1)的左、右顶点分别为A、B,P是椭圆C上任一点,且点P位于第一象限.直线PA交y轴于点Q,直线PB交y轴于点R.当点Q坐标为(0,1)时,点R坐标为(0,2)
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证: 为定值;
(3)求证:过点R且与直线QB垂直的直线经过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】观察以下各等式:
tan 30°+tan 30°+tan 120°=tan 30°·tan 30°·tan 120°,
tan 60°+tan 60°+tan 60°=tan 60°·tan 60°·tan 60°,
tan 30°+tan 45°+tan 105°=tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特点,猜想出表示的一般规律,并加以证明.
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【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得=80,
=20,
=184,
=720.
(Ⅰ)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(Ⅱ)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x﹣1)2+y2=2,圆C2:(x﹣m)2+(y+m)2=m2 . 圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是 .
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【题目】设,
(其中a>0,且a≠1).
(1)请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;
(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.
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