【题目】已知函数f(x)=ln(x+a)﹣x,a∈R.
(1)当a=﹣1时,求f(x)的单调区间;
(2)若x≥1时,不等式ef(x)+ x2>1恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=﹣1时,f(x)=ln(x﹣1)﹣x,x>1,
f′(x)= ﹣1= ,
当1<x<2时,f′(x)>0,f(x)递增,
当x>2时,f′(x)<0,f(x)递减,
故f(x)在(1,2)递增,在(2,+∞)递减
(2)解:由题意得:x≥1时,x+a>0恒成立,故a>﹣1,①,
不等式ef(x)+ x2>1恒成立,
即 x2+ ﹣1>0对任意的x≥1恒成立,
设g(x)= x2+ ﹣1,x≥1,
g′(x)= ,
a≤0时,g(2)=a(2+ )﹣1+ <0,不合题意,
a>0时,要使x≥1时,不等式ef(x)+ x2>1恒成立,
只需g(1)=a( + )﹣1+ >0,即a> ,
a> 时,aexx﹣x+1﹣a=a(exx﹣1)+1﹣x> (exx﹣1)+1﹣x,
设h(x)= (exx﹣1)+1﹣x,x≥1,
h′(x)= exx+ ex﹣1,x≥1,
显然h′(x)在(1,+∞)递增,∴h′(x)>h′(1)= >0,
∴h(x)在(1,+∞)递增,h(x)>h(1)= >0,
即aexx﹣x+1﹣a>0,②,
由①②得:a> 时,满足题意
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为 x2+ ﹣1>0对任意的x≥1恒成立,设g(x)= x2+ ﹣1,x≥1,通过求导得到g(x)的单调性,从而求出a的范围即可.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】为响应“精确扶贫”号召,某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的A、B两种药品捐献给贫困地区某医院,其中A药品至少100箱,B药品箱数不少于A药品箱数.则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为( )
A.200
B.350
C.400
D.500
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【题目】如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是( )
A.点Q到平面PEF的距离
B.直线PE与平面QEF所成的角
C.三棱锥P﹣QEF的体积
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
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【题目】对于函数f(x)=atanx+bx3+cx(a、b、c∈R),选取a、b、c的一组值计算f(1)、f(﹣1),所得出的正确结果可能是( )
A.2和1
B.2和0
C.2和﹣1
D.2和﹣2
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