Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x₁，x₂判断下列三个代数式：①x₁+x₂+a，②

x

2 1

+

x

2 2

+a2，③

x

3 1

+

x

3 2

+a3
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x）表达式，求出其导数f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a，因此将不等式f′（x）＞a²化简成（x-3）（x+a）＞0，对任意x∈[1，2]恒成立，从而得到x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，由此即可得到实数a的取值范围；
（II）根据题意，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，可得x₁+x₂+a=3为定值，且

x

2 1

+

x

2 2

+a2=9也为定值．而化简

x

3 1

+

x

3 2

+a3=3a³-9a²+27可得它不是定值，从而得到g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3），利用导数研究g（a）在区间（-1，3）上的单调性，并结合函数值的大小比较，即可得到出g（a）的最小值．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
得f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a，对任意x∈[1，2]，f'（x）＞a²恒成立，
即x²+（a-3）x-3a＞0，（x-3）（x+a）＞0对任意x∈[1，2]恒成立，
又x-3＜0恒成立，所以x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，所以a＜-x恒成立，
所以a＜-2．…（4分）
（II）依题意知x₁，x₂恰为方程f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a=0的两根，
所以

(a-3)2-4(a2-3a)＞0 x1+x2=3-a x1x2=a2-3a

解得-1＜a＜3…（5分）
所以①x₁+x₂+a=3为定值，…（6分）
②

x

2 1

+

x

2 2

+a2=(x1+x2)2-2x1x2+a2=9为定值，…（7分）
③

x

3 1

+

x

3 2

+a3=(x1+x2)(

x

2 1

-x1x2+

x

2 2

)+a3=3a3-9a2+27不是定值
即g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3），可得g'（a）=9a²-18a，
当a∈[-1，0]时，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是增函数，
当a∈[0，2]时，g'（a）＜0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是减函数，
当a∈[2，3]时，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[2，3]是增函数，
因此，g（a）在（-1，3）上的最小值是g（-1）与g（2）中较小的一个，
又∵g（-1）=15；g（2）=15
∴g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3）的最小值为15（a=2时取到）．…（12分）

点评：本题给出三次多项函数，在不等式恒成立的情况下求实数a的取值范围并讨论了函数的极值问题．着重考查了三次多项式函数的单调性和利用导数研究函数的极值与最值等知识，属于中档题．