Question

已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若

AB

+

AC

=2

AO

，且|

OA

|=|

AC

|，则向量

AB

在向量

BC

方向上的投影为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  2

• C．3
• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：利用已知可得四边形ABDC是矩形，利用|

OA

|=|

AC

|，可得△OAC是等边三角形．于是向量

AB

在向量

BC

方向上的投影=|

AB

|cos(180°-30°)，得出即可．

解答：解：如图所示，延长AO交⊙O于点D．连接BD、CD．
∵

AB

+

AC

=2

AO

，∴

AB

+

AC

=

AD

，∴四边形ABDC是矩形．
∵|

OA

|=|

AC

|，∴△OAC是等边三角形．
∴∠ACB=60°，又∠BAC=90°．
∴∠ABC=30°．
∵半径为1，即BC=2．∴AB=

3

．
∴向量

AB

在向量

BC

方向上的投影=|

AB

|cos(180°-30°)=

3

×(-

3

2

)=-

3

2

．
故选D．

点评：熟练掌握向量的平行四边形法则、矩形的定义、等边三角形的定义、向量投影的意义等是解题的关键．