Question

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x²+y²=R²上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为（如图），则x_E•x_F也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直线l_MP 方程，令y=0，可得x_E，同理求出直线l_NP 方程，令y=0，求得x_F；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，利用M，P 在椭圆C上，计算出x_E•x_F的值，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N（m，-n），
则l_MP：y-n=                                      …（2分）
令y=0，则                                      …（4分）
同理可得：，…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：=，…（8分）
∵M，P在椭圆C：上，
∴n²=b²，=b²，…．（10分）
∴x_E•x_F===a²（定值）．
∴x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值．…（15分）
点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．