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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
    x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
    （Ⅰ）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
    （Ⅱ）已知“若点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点（
    x0•y0≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    （如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．
    分析：（Ⅰ）求出直线lMP 方程，令y=0，可得xE，同理求出直线lNP 方程，令y=0，求得xF；
    （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，利用M，P 在椭圆C上，计算出xE•xF的值，即可得到结论．
    解答：（Ⅰ）解：因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N（m，-n），
    则lMP：y-n=
    y0-m
    x0-m
    (x-m)                                          …（2分）
    令y=0，则xE=
    my0-nx0
    y0-n
                                          …（4分）
    同理可得：xF=
    my0+nx0
    y0+n
    ，…（6分）
    （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：xE•xF=
    my0-nx0
    y0-n
    ×
    my0+nx0
    y0+n
    =
    m2y
    2
    0
    -n2x
    2
    0
    y
    2
    0
    -n2
    ，…（8分）
    ∵M，P在椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上，
    ∴n2=b2(1-
    m2
    a2
    )    ，
    y
    2
    0
    =b2(1-
    x02
    a2
    )    ，…．（10分）
    ∴xE•xF=
    m2y
    2
    0
    -n2x
    2
    0
    y
    2
    0
    -n2
    =
    b2(m2 - x
    2
    0
    )
    b2
    a2
    (m2-x
    2
    0
    )
    =a2（定值）．
    ∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．…（15分）
    点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
    练习册系列答案
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    （1）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
    （2）若C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    （如图），求证：xE•xF是与MN和点P位置无关的定值；
    （3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究xE和xF经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：
    x2
    4
    +y2=1    ．
    （1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
    （2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）（如图），求xE?xF的值；
    （3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    中相类似的结论，并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年上海市徐汇区高三上学期期末理科数学卷 题型：解答题

    圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。

    （1）试用的代数式分别表示和；

    （2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；

    （3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省镇江市扬中二中高三（上）期末数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
    x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
    （Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示xE和xF；
    （Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

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