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    （2009•浦东新区二模）已知
    i
    =(1，0)，
    c
    =(0，
    		2
    )    ，若过定点A(0，
    		2
    )    、以
    i
    -λ
    c
    （λ∈R）为法向量的直线l1与过点B(0，-
    		2
    )    以
    c
    +λ
    i
    为法向量的直线l2相交于动点P．
    （1）求直线l1和l2的方程；
    （2）求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E，F，使得|
    PE
    |+|
    PF
    |    恒为定值；
    （3）在（2）的条件下，若M，N是l：x=2
    		2
    上的两个动点，且
    EM
    •
    FN
    =0    ，试问当|MN|取最小值时，向量
    EM
    +
    FN
    与
    EF
    是否平行，并说明理由．
    分析：（1）根据所给直线上的定点坐标以及法向量，即可写出两直线方程．
    （2）根据（1）中所求直线l1和l2的方程，可分别求出两直线的斜率，再计算k1k2，为定值
    1
    2
    ，再用p点坐标表示k1k2，与前面所求k1k2的值相等，即可得到P点的轨迹方程．为椭圆，根据椭圆定义，可知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定植，所以必存在两个定点E，F，使得|
    PE
    |+|
    PF
    |    恒为定值．
    （3）因为M，N的横坐标相同，设出它们的纵坐标，先把|MN|用M，N的纵坐标表示，根据且
    EM
    •
    FN
    =0    ，求出M，N纵坐标的关系式，代入|MN|，即可求出|MN|的最小值，以及相应的M，N纵坐标，并据此求出向量
    EM
    +
    FN
    的坐标，根据两向量平行的坐标关系，即可判断向量
    EM
    +
    FN
    与
    EF
    是否平行．
    解答：解：（1）直线l1的法向量
    n1
    =( 1 ， -
    		2
    λ )    ，l1的方程：x-
    		2
    λ ( y-
    		2
     )=0    ，
    即为x-
    		2
    λy+2λ=0    ；
    直线l2的法向量
    n1
    =( λ ， 
    		2
     )    ，l2的方程：λx+
    		2
     ( y+
    		2
     )=0    ，
    即为λx+
    		2
    y+2=0    ． 
    （2）k1k2=
    1
    		2
    λ
    •( -
    λ
    		2
     )=-
    1
    2
    ．   
    设点P的坐标为（x，y），由k1k2=
    y-
    		2
    x
    •
    y+
    		2
    x
    =-
    1
    2
    ，得
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ．
    由椭圆的定义的知存在两个定点E、F，使得|
    PE
    |+|
    PF|
    恒为定值4．
    此时两个定点E、F为椭圆的两个焦点．
    （3）设M ( 2
    		2
     ， y1)    ，N ( 2
    		2
     ， y2)    ，则
    EM
    =( 3
    		2
     ， y1)    ，
    FN
    =( 
    		2
     ， y2)    ，
    由
    EM
    •
    FN
    =0    ，得y1y2=-6＜0．
    |MN|2=（y1-y2）2=y12+y22-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=24；
    当且仅当
    y1=
    		6
      
    y2=-
    		6
    或
    y1=-
    		6
    y2=
    		6
     
    时，|MN|取最小值
    		6
    ．
    EM
    +
    FN
    =( 4
    		2
     ， y1+y2)=( 4
    		2
     ， 0 )=2
    EF
    ，故
    EM
    +
    FN
    与
    EF
    平行．
    点评：本题主要考查了椭圆定义的应用，以及直线与圆锥曲线相交弦长的求法．
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    		3
    米，记∠BHE=θ．
    （1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
    （2）若sinθ+cosθ=
    		3
    +1
    2
    ，求此时管道的长度L；
    （3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．

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    （2009•浦东新区一模）已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a1-6，则
    limn→∞
    Sn    =
    16
    16
    ．

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    （2009•浦东新区一模）函数y=2sin2x的最小正周期为
    π
    π
    ．

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    （2009•浦东新区一模）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
    （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
    第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
    π
    3
    )    ；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log
    1
    2
    x，a=2，b=1    ，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
    （3）设f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
    1
    x
    (x＞0)    ，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

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    （2009•浦东新区二模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=2
    		3
     ， c=2    ，且
    .
    sinCsinB0
    0b-2c
    cosA01
    .
    =0    ，求△ABC的面积．

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