Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0， ，那么△ABC周长的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由cos2B+3cos（A+C）+2=0，A+B+C=π，

可得2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0，即（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0，

∵0＜B＜π，

∴cosB= ，

即B= ．

∵b= ，

正弦定理可得：a= ，c= ，

则a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin（ ）=2sinA+2sin cosA﹣2cos sinA=3sinA+ cosA= sin（A+ ）．

∵0＜A ，

∴ ＜A+ ＜ ．

当A+ = ，即A= 时，a+c取得最大值为2 ．

那么△AC周长的最大值为：2 + =3

所以答案是：C

【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的正弦公式：才能正确解答此题．