Question

已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意可知，，，  

解得.                                                       …………4分

所以椭圆的方程为.                                      …………5分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，

于是直线的方程为，令，则.

即.                                          …………7分

又直线的方程为，令，则，

即.                                          …………9分

所以 ，………11分

又在上，所以,即，代入上式，

得,所以为定值.                    …………13分