Question

2．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间（1，2）上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（sinα）＞f（sinβ）
• D． f（cosα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 可设x∈（0，1），根据f（x）在R上为偶函数及f（x+2）=f（x）便可得到：f（x）=f（-x）=f（-x+2），可设x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，根据f（x）在（1，2）上是减函数便可得出f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）在（0，1）上单调递增．而由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f（x）在（0，1）上是增函数即可得出f（sinα）＞f（cosβ）．

解答 解：设x∈（0，1），根据条件，f（x）=f（-x）=f（-x+2），-x+2∈（1，2）；
若x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，则：-x₁+2＞-x₂+2；
∵f（x）在（1，2）上是减函数；
∴f（-x₁+2）＜f（-x₂+2）；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，1）上是增函数；
α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞$\frac{π}{2}$；
∴$\frac{π}{2}＞α＞\frac{π}{2}-β＞0$；
∴$sinα＞sin（\frac{π}{2}-β）$；
∴sinα＞cosβ，sinα，cosβ∈（0，1）；
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故选：A．

点评 考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设x₁＜x₂，通过条件比较f（x₁）与f（x₂），增函数和减函数定义的运用，锐角三角形的两个锐角的和大于$\frac{π}{2}$，正弦函数的单调性．