Question

12．已知函数f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$ （n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得{a_n}是以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列．运用等差数列的通项公式，即可得到；
（2）将T_n化为a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1），运用等差数列的通项公式，以及求和公式，化简即可得到所求；
（3）化简b_n=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由裂项相消求和公式，化简即可得到．

解答 解　（1）∵a_n+1=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{2+3an}{3}$=a_n+$\frac{2}{3}$，
∴{a_n}是以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列．
又a₁=1，∴a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$；
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-$\frac{4}{3}$（a₂+a₄+…+a_2n）=-$\frac{4}{3}$•[$\frac{5}{3}$n+$\frac{2}{3}$n（n-1）]
=-$\frac{4}{9}$（2n²+3n）；
（3）当n≥2时，b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）}$
=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
又b₁=3=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．