【题目】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1= .
(1)求证:C1B⊥平面ABC;
设 (0≤λ≤1),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°,
试求λ的值.
【答案】(1)见解析(2)1
【解析】试题分析:(1)先由线面垂直的性质证明,再根据余玄定理及勾股定理证明
,利用直线与平面垂直的判断定理证明
平面
;(2)通过
两两垂直.以
为原点,
所在直线
轴建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,求出平面
的一个法向量,平面BB1E的一个法向量,通过向量的数量积,推出
的方程,求解即可.
试题解析:(1)证明:因为AB⊥侧面BB1C1C,BC1侧面BB1C1C,故AB⊥BC1.
在△BCC1中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=,
BC=BC2+CC-2BC·CC1·cos∠BCC1=12+22-2×1×2×cos=3.
所以BC1=,故BC2+BC=CC,所以BC⊥BC1,
而BC∩AB=B 所以C1B⊥平面ABC.
(2)由(1)可知,AB,BC,BC1两两垂直.以B为原点,BC,BA,BC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则B(0,0,0),A(0,1,0),B1(-1,0,),C(1,0,0),C1(0,0,
).
所以=(-1,0,),所以=(-λ,0,
λ
λ).
则=(1-λ,-1,λ),=(-1,-1,
).
设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=,则x=
,y=
,
故n=是平面AB1E的一个法向量.
因为AB⊥平面BB1C1C,所以=(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量,
所以|cos〈n,〉|=
=
=.
两边平方并化简得2λ2-5λ+3=0,所以λ=1或λ= (舍去).
故所求λ的值为1
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
购买意愿强 | 购买意愿弱 | 合计 | |
20~40岁 | |||
大于40岁 | |||
合计 |
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为,求
的分布列和数学期望.
附:.
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【题目】下面给出四种说法:
①用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好;
②命题P:“x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定是¬P:“x∈R,x2﹣x﹣1≤0”;
③设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(x>1)=p则P(﹣1<X<0)= ﹣p
④回归直线一定过样本点的中心( ).
其中正确的说法有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】已知函数f(x)=
(t+1)lnx,,其中t∈R.
(1)若t=1,求证:当x>1时,f(x)>0成立;
(2)若t> ,判断函数g(x)=x[f(x)+t+1]的零点的个数.
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【题目】如图所示,为了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC,建造住宅小区公园,但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF.已知AB=CD=200 m,BC=AD=160 m,AF=40 m,AE=60 m,问如何设计才能使公园占地面积最大,求出最大面积.
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【题目】某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y=ax+.且当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.且此产品生产件数不超过20件.
(1)写出函数y关于x的解析式;
(2)用列表法表示此函数,并画出图象.
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【题目】已知函数,
,记
。
(1) 判断的奇偶性(不用证明)并写出的单调区间;
(2)若对于一切
恒成立,求实数
的取值范围.
(3)对任意,都存在
,使得
,
.若
,求实数
的值;
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