【题目】已知函数是
的导函数,
为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:
;
(3)当时,判断函数
零点的个数,并说明理由.
【答案】(1)①当时,
在
上为减函数;②当
时,
的减区间为
,增区间为
;(2) 证明见解析;(3)一个零点,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)讨论函数单调性,先求导,当
时,
,故
在
上为减函数;当
时,解
可得
,故
的减区间为
,增区间为
;(2)根据
,构造函数,设
,
,当
时,
,所以
是增函数,
,得证;(3)判断函数的零点个数,需要研究函数的增减性及极值端点,由(1)可知,当
时,
是先减再增的函数,其最小值为
,而此时
,且
,故
恰有两个零点
,
从而得到的增减性,当
时,
;当
时,
;当
时,
,从而
在
两点分别取到极大值和极小值,再证明极大值
,所以函数不可能有两个零点,只能有一个零点.
试题解析:
(1)对函数求导得
,
,
①当时,
,故
在
上为减函数;
②当时,解
可得
,故
的减区间为
,增区间为
;
(2) ,设
,则
,
易知当时,
,
;
(3)由(1)可知,当时,
是先减再增的函数,
其最小值为,
而此时,且
,故
恰有两个零点
,
∵当时,
;当
时,
;当
时,
,
∴在
两点分别取到极大值和极小值,且
,
由知
,
∴,
∵,∴
,但当
时,
,则
,不合题意,所以
,故函数
的图象与
轴不可能有两个交点.
∴函数只有一个零点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程是
(
为参数),以
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,且直线
与曲线
交于
两点.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程及直线
恒过的定点
的坐标;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若,求直线
的普通方程.
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【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)对任意x∈(0,+∞),恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,
获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格在
.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(1)根据已知条件完成如图列联表,并据此资料判断你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列,期望
和方差
.
附:,其中
.
0.05 | 0.010 | |
3.74 | 6.63 |
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【题目】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1= .
(1)求证:C1B⊥平面ABC;
设 (0≤λ≤1),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°,
试求λ的值.
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