Question

（2012•泰安二模）已知函数f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=

8x

x+2

．
（I）求证f（x）≥1+lna；
（II）若对任意的x1∈[

1

2

，

2

3

]，总存在唯一的x2∈[

1

e2

，e]（e为自然对数的底数），使得g（x₁）=f（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导数，由导数的正负取得函数的单调性，从而可得函数的最值，即可证明结论；
（II）首先确定g（x）∈[

8

5

，2]，再分类讨论确定函数f（x）的值域，利用对任意的x1∈[

1

2

，

2

3

]，总存在唯一的x2∈[

1

e2

，e]（e为自然对数的底数），使得g（x₁）=f（x₂），建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答：（I）证明：求导数可得f′（x）=a-

1

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

，令f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

a

∴x=

1

a

时，函数取得最小值
∴f（x）≥f（

1

a

）=1+lna；
（II）解：g′（x）=

16

(x+2)2

＞0，∴函数g（x），当x1∈[

1

2

，

2

3

]时，函数为增函数，∴g（x）∈[

8

5

，2]
当

1

a

≥e时，函数f（x）在x2∈[

1

e2

，e]上单调减，∴f（x）∈[

a

e2

+2，ae-1]
∴

a e2 +2≤ 8 5 ae-1≥2

，无解；
当

1

e2

＜

1

a

＜e时，函数f（x）在[

1

e2

，

1

a

]上单调减，在[

1

a

，e]上单调增，f（

1

a

）=1+lna≤

8

5

，∴a≤e

3

5

，∴

1

e

＜a≤e

3

5

当

1

a

≤

1

e2

时，函数f（x）在x2∈[

1

e2

，e]上单调增，∴f（x）∈[

a

e2

+2，ae-1]，∴

a e2 +2≥2 ae-1≤ 8 5

，无解
综上知，

1

e

＜a≤e

3

5

．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．