Question

已知椭圆C：的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且|PF₁|=,
|PF₂|= ， PF₁⊥F₁F₂.        
（1）求椭圆C的方程；(6分)
（2）若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程.

Answer 1

(1)椭圆C的方程为＝1. (2)所求的直线方程为8x-9y+25=0.

试题分析：(1) ∵点P在椭圆C上，∴，a=3.
在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,
从而b²=a²－c²="4," ∴椭圆C的方程为＝1.
(2)设A，B的坐标分别为（x₁,　y₁）、（x₂,　y₂）. ∵圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,　 ∴圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y="k(x+2)+1," 代入椭圆C的方程得
（4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.  （*）
又∵A、B关于点M对称.  ∴  解得，
∴直线l的方程为  即8x-9y+25=0. 此时方程（*）的 ，故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
解法二：(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,　 ∴圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).　由题意x₁x₂且
 ①　　   ②
由①－②得  　③
又∵A、B关于点M对称，∴x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,　代入③得＝，即直线l的斜率为，
∴直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25="0." 此时方程（*）的 ，故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
点评：中档题，本题求椭圆的标准方程时，应用了椭圆的定义。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本解法给出了两种思路，其中思路1主要是利用韦达定理，结合对称性求得直线方程；思路2则利用了“点差法”求斜率，进一步结合对称性求得直线方程。