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已知椭圆C:的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=,
|PF2|= , PF1⊥F1F2.        
(1)求椭圆C的方程;(6分)
(2)若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线L的方程.
(1)椭圆C的方程为=1. (2)所求的直线方程为8x-9y+25=0.

试题分析:(1) ∵点P在椭圆C上,∴,a=3.
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2="4," ∴椭圆C的方程为=1.
(2)设A,B的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2). ∵圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,  ∴圆心M的坐标为(-2,1). 从而可设直线l的方程为 y="k(x+2)+1," 代入椭圆C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.  (*)
又∵A、B关于点M对称.  ∴  解得
∴直线l的方程为  即8x-9y+25=0. 此时方程(*)的 ,故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
解法二:(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,  ∴圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由题意x1x2
 ①     ②
由①-②得   ③
又∵A、B关于点M对称,∴x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得,即直线l的斜率为
∴直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25="0." 此时方程(*)的 ,故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
点评:中档题,本题求椭圆的标准方程时,应用了椭圆的定义。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本解法给出了两种思路,其中思路1主要是利用韦达定理,结合对称性求得直线方程;思路2则利用了“点差法”求斜率,进一步结合对称性求得直线方程。
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