试题分析:(1) ∵点P在椭圆C上,∴
,a=3.
在Rt△PF
1F
2中,
故椭圆的半焦距c=
,
从而b
2=a
2-c
2="4," ∴椭圆C的方程为
=1.
(2)设A,B的坐标分别为(x
1, y
1)、(x
2, y
2). ∵圆的方程为(x+2)
2+(y-1)
2=5, ∴圆心M的坐标为(-2,1). 从而可设直线l的方程为 y="k(x+2)+1," 代入椭圆C的方程得
(4+9k
2)x
2+(36k
2+18k)x+36k
2+36k-27=0. (*)
又∵A、B关于点M对称. ∴
解得
,
∴直线l的方程为
即8x-9y+25=0. 此时方程(*)的
,故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
解法二:(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为(x+2)
2+(y-1)
2=5, ∴圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x
1,y
1),(x
2,y
2). 由题意x
1x
2且
①
②
由①-②得
③
又∵A、B关于点M对称,∴x
1+ x
2=-4, y
1+ y
2=2, 代入③得
=
,即直线l的斜率为
,
∴直线l的方程为y-1=
(x+2),即8x-9y+25="0." 此时方程(*)的
,故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
点评:中档题,本题求椭圆的标准方程时,应用了椭圆的定义。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本解法给出了两种思路,其中思路1主要是利用韦达定理,结合对称性求得直线方程;思路2则利用了“点差法”求斜率,进一步结合对称性求得直线方程。