Question

【题目】已知函数 ．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域、值域都是 ，若存在求出a的值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设x2＞x1＞0，

则f（x2）﹣f（x1）=（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）= ﹣ = ，

∵x2＞x1＞0，∴x2﹣x1＞0，

∴ ＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）递增

（2）解：∵f（x）在（0，+∞）递增，

且定义域和值域均是[ ，2]，

∴ ，

所以存在实数

【解析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可；（2）根据函数的单调性得到关于a的方程组，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．