Question

【题目】已知函数f（x）=cos2（x+ ），g（x）=1+ sin2x．
（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值．
（2）设函数h（x）=f（x）+g（x），若不等式|h（x）﹣m|≤1在[﹣ ， ]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=cos2（x+ ）= ，

由 得所以函数的对称轴为 ．

因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以 ．

所以 ，

若k是偶数，则 ，

若k是奇数，则

（2）解：h（x）=f（x）+g（x）= cos（2x+ ）+1+ sin2x= + （ cos2x﹣ sin2x）+1+ sin2x

= + （ cos2x+ sin2x）+1= ．

因为x∈[﹣ ， ]，所以 ，

所以 ，所以要使|h（x）﹣m|≤1恒成立，

即﹣1≤m﹣h（x）≤1，

所以h（x）﹣1≤m≤1+h（x）．

所以1

【解析】（1）利用三角函数对称轴的性质确定x0的值，然后代入求值即可．（2）求出函数h（x）=f（x）+g（x）的最值即可．
【考点精析】本题主要考查了二倍角的余弦公式和三角函数的最值的相关知识点，需要掌握二倍角的余弦公式：；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．