Question

【题目】定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界． 已知函数f（x）=1+a（ ）x+（ ）x；g（x）=
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）值域并说明函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数？
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知m＞﹣1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=1+a（ ）x+（ ）x ， ∴当a=1时， ，
∵y= 和y= 在R上是单调递减函数，
∴f（x）在R上是单调递减函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数，
∴f（x）＞f（0）=3，
∴f（x）在（﹣∞，0）的值域为（3，+∞），
∴|f（x）|＞3，
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数；
（Ⅱ）∵函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，
∴由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
∴﹣3≤f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，
∴ 在[0，+∞）上恒成立，
∴ 在[0，+∞）上恒成立，
∴ ，
令t=2x ， 由x∈[0，+∞），可得t≥1，
∴ ， ，
下面判断函数h（t）和p（t）的单调性：
设1≤t1＜t2 ， 则t2﹣t1＞0，4t1t2﹣1＞0，t1t2＞0，2t1t2+1＞0，
∴ ，
，
∴h（t1）＞h（t2），p（t1）＜p（t2），
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，
∴﹣5≤a≤1，
∴实数a的取值范围为[﹣5，1]；
（Ⅲ）g（x）= =﹣1+ ，
①当m＞0时，x∈[0，1]，
∵y=mx2+1在[0，1]上单调递增，
∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即 ，
∵ ，
∴|g（x）|＜1，
∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
②当m=0时，g（x）=1，|g（x）|=1，
∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
③当﹣1＜m＜0时，x∈[0，1]，
∵y=mx2+1在[0，1]上单调递减，
∴g（x）在[0，1]上递增，
∴g（0）≤g（x）≤g（1），即 ，
∴ ，
∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴ ．
综合①②③，当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞），
当﹣1＜m＜0时，T（m）的取值范围是
【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）可得 ，利用指数函数的单调性判断出f（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数，即可求得f（x）＞f（0），从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数；（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用参变量分离转化为 在[0，+∞）上恒成立，令t=2x ， 则 ， ，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围．（Ⅲ）将函数g（x）= 变形为g（x）=﹣1+ ，对参数m进行分类讨论，当m＞0时，确定函数g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的取值范围，从而确定|g（x）|的范围，利用有界函数的定义，转化为|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范围，即可求得T（m）的取值范围，同理研究当m=0和当﹣1＜m＜0时的情况，综上所求范围，即可求得T（m）的取值范围．