Question

【题目】已知椭圆的左，右焦点分别为.点在椭圆上，直线过坐标原点，若， .

（1）求椭圆的方程；

（2） 设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：(1)利用条件布列方程组，求出椭圆的方程；(2) 直线的方程为： ， ， ，可得： ，又，得，

，又点到直线的距离为，∴.从而得到定值.

试题解析：

（1）设，则，∴，设，由，

，将代入，整体消元得：

，∴

由，

综合得：椭圆的方程为： .

（2）由（1）知，直线的方程为：

即： ，所以

∴.

∵，∴的方程为，令，可得，∴

则

又点到直线的距离为，∴.

∴.

当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.

综上， .

（几何法）

当不在轴时，不妨令在第一象限，直线的方程为，令

∴， ，

∵与垂直，∴，

令，∴

∴

当在轴时， ，