Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一个动点，∠CPB=α，∠DPA=β． （Ⅰ）当 最小时，求tan∠DPC的值；
（Ⅱ）当∠DPC=β时，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以A为原点，AB所在直线为x轴， 建立如图所示的直角坐标系．
则A（0，0），B（3，0），C（3，2），
D（0，1），令P（x，0），0≤x≤3
有
所以 ，
当 时， 最小
此时 ，在△CPB中， ，
在△DPA中，
所以 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
，
∵∠DPC=β，∴α=π﹣2β，tanα=﹣tan2β
∴ 整理得：
此时 ．

【解析】（I）以A为原点，AB所在直线为x轴，分别写出点A，B，C，D，P的坐标，利用数量积和二次函数的单调性\两角和的正切公式即可得出；（II）利用诱导公式和倍角公式即可得出．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的正切公式：才能正确解答此题．