【题目】已知函数.
()当
时,求曲线
在点
处的切线方程.
()求
的单调区间.
()求证:当
时,函数
存在最小值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)分别求得和
,由点斜式可得直线方程;
(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,由导函数的正负求单调区间即可;
(3)结合(2)得到函数f(x)在x∈[-a,+∞)上f(x)≥f(-2),而x∈(-∞,-a)时,f(x)=ex[x(x+a)+a]>0,从而求出f(x)的最小值是f(-2);法二:根据函数的单调性求出f(x)的最小值是f(-2)即可.
试题解析:
()当
时,
,
,
∴,
,
∴曲线在点
处的切线方程为:
,
即.
()由
得
,
令,解得:
或
,
①当,即
时,
,
在
上单调递增;
②当,即
时,令
,得
或
;
令,得
,
∴的单调增区间是
和
,单调减区间是
;
③当,即
时,令
,
得或
;
令,得
,
∴的单调增区间是
和
,
单调减区间是.
综上所述,当时,函数
在
上递增;
当时,
的单调增区间是
和
,单调减区间是
;
当时,
的单调增区间是
和
,单调减区间是
.
()由(
)得:当
时,函数
在
上有
,
且,
∵,
∴时,
,
,
,
∴时,函数
存在最小值
.
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【题目】某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆的圆心
在抛物线
上,圆
过原点且与抛物线的准线相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)过抛物线焦点的直线
交抛物线于
,
两点,分别在点
,
处作抛物线的两条切线交于
点,求三角形
面积的最小值及此时直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数 (k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).
(1)当k≤0时,求函数f (x)的单调区间;
(2)若函数f (x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率为
,右准线方程为
.
求椭圆C的标准方程;
已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点,且点A在第三象限内
为椭圆C的上顶点,记直线MA,MB的斜率分别为
,
.
若直线l经过原点,且
,求点A的坐标;
若直线l过点
,试探究
是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试,测试成绩满分为100分,规定测试成绩在之间为“体质优秀”,在
之间为“体质良好”,在
之间为“体质合格”,在
之间为“体质不合格”
现从两个年级中各随机抽取8名学生,测试成绩如下:
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
高一年级 | 60 | 85 | 55 | 80 | 65 | 90 | 90 | 75 |
高二年级 | 75 | 85 | 65 | 90 | 75 | 60 | a | b |
其中a,b是正整数.
(1)若该校高一年级有200名学生,试估计高一年级“体质优秀”的学生人数;
(2)从高一年级抽取的学生中再随机选取3人,求这3人中,恰有1人“体质良好”的概率;
(3)设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等,当高二年被抽取学生的测试成绩的方差最小时,写出a,b的值结论不要求证明
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
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