Question

已知函数f(x)=

x2

x-2

，(x∈R，且x≠2）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=x²-2ax与函数f（x）在x∈[0，1]时有相同的值域，求a的值；
（3）设a≥1，函数h（x）=x³-3a²x+5a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得h（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把f（x）用分离常数法分开，再利用常用函数的单调性来求f（x）的单调区间
（2）先有（1）的结论把f（x）在x∈[0，1]上的值域找到，利用两函数有相同的值域求a的值
（3）先证h（x）的单调性，再求h（x）的值域，利用h（x）的值域求a

解答：解：（1）f(x)=

x2

x-2

=

[(x-2)+2]2

x-2

=(x-2)+

4

x-2

+4，
易得f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（4，+∞）；单调递减区间为（0，2），（2，4）．（5分）
（2）∵f（x）在x∈[0，1]上单调递减，
∴其值域为[-1，0]，
即x∈[0，1]，g（x）∈[-1，0]．
∵g（0）=0为最大值，
∴最小值只能为g（1）或g（a），
若g（1）=-1?

a≥1 1-2a=-1

?a=1；
若g（a）=-1?

1 2 ≤a≤1 -a2=-1

?a=1．
综上得a=1；（10分）
（3）设h（x）的值域为A，由题意知，[-1，0]⊆A．以下先证h（x）的单调性：设0≤x₁＜x₂≤1，
∵h（x₁）-h（x₂）=x₁³-x₂³-3a²（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-3a²）＞0，
（a≥1?3a²≥3，x₁²+x₁x₂+x₂²＜3），
∴h（x）在[0，1]上单调递减．
∴

hmax=h(0)=5a≥0 hmin=h(1)=1-3a2+5a≤-1

?a≥2，
∴a的取值范围是[2，+∞）（16分）

点评：本题是对函数的单调区间和含参数的函数值域的综合考查，对含有参数的函数式，在确定单调性时，要注意分类讨论．