Question

一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为3的圆锥，如图是圆锥的轴截面图，则内接圆柱侧面积最大值是（　　）

• A、

  3

  2

  π
• B、3π
• C、5π
• D、4π

Answer 1

分析：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，根据三角形相似找出h与r的关系，然后表示出内接圆柱侧面积，最后利用基本不等式求出最值即可，注意等号成立的条件．

解答：解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，如右图，
∵△CAB∽△CED，
∴

ED

AB

=

CD

CB

，即

h

3

=

2-r

2

，则h=

3

2

（2-r），
∴内接圆柱侧面积S=2πrh=2πr×

3

2

（2-r）=3πr（2-r）≤3π(

r+2-r

2

)2=3π，
当且仅当r=2-r，即r=1时取等号，
∴内接圆柱侧面积最大值是3π．
故选：B．

点评：本题主要考查了圆锥的内接圆柱的侧面积，以及基本不等式在最值中的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．