Question

设f(x)是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞,0）上为增函数.
（1）若m·n＜0,m+n≤0,求证：f(m)+f(n)≤0;
(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x²-2x-2)＞0.

Answer 1

（1）证明见解析(2) 不等式的解集为（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）

（1）证明 ∵m·n＜0,m+n≤0，∴m、n一正一负.
不妨设m＞0,n＜0,则n≤-m＜0.取n=-m＜0,
∵函数f(x)在（-∞,0）上为增函数，
则f(n)=f(-m)；取n＜-m＜0，同理
f(n)＜f(-m)∴f(n)≤f（-m）.
又函数f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，
∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.
（2）解 ∵f（1）=0，f(x)在（-∞,0）∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-1)=0，
∴原不等式可化为或.
易证：f(x)在（0,+∞）上为增函数.
∴或.
∴x²-2x-3＞0或.
解得x＞3或x＜-1或.
∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）.