Question

已知sinα+cosα=

2

，求下列各式的值：
（1）sinαcosα；
（2）sin²α+cos²α；
（3）sin⁴α+cos⁴α；
（4）sin⁴α-cos⁴α．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）sinα+cosα=

2

，两边平方展开利用同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用平方关系即可得出；
（3）配方即可得出；
（4）利用平方差公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．

解答： 解：（1）∵sinα+cosα=

2

，
∴（sinα+cosα）²=2，化为sin²α+cos²α+2sinαcosα=2，即2sinαcosα=1．
∴sinαcosα=

1

2

．
（2）sin²α+cos²α=1；
（3）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2×(

1

2

)2=

1

2

．
（4）由（1）可得sin2α=1，∴cos2α=±

1-sin22α

=0
sin⁴α-cos⁴α=（sin²α+cos²α）（sin²α-cos²α）
=-cos2α=0．

点评：本题考查了平方差公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了平方法、配方法，考查了计算能力，属于基础题．