【题目】已知等差数列{an}的各项均为正数,且Sn= + +…+ ,S2= ,S3= .设[x]表示不大于x的最大整数(如[2.10]=2,[0.9]=0).
(1)试求数列{an}的通项;
(2)求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2( ﹣1)]+[log2( )]关于n的表达式.
【答案】
(1)解:Sn= + +…+ = ( ﹣ ),
∵S2= ,S3= ,
∴ ( ﹣ )= , ( ﹣ )= ,
∴a1=1,d=1,
∴an=n
(2)解:T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2( ﹣1)]+[log2( )]
=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2(2n﹣1)]+[log2(2n)]
∵[log21]=0,
[log22]=[log23]=1,
…
[log22m]=[log2(m+1)]=…=[log2(m+1﹣1)]=m.
∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2(2n﹣1)]+[log2(2n)]=0+1×2+2×22+…+(n﹣1)2n﹣1+n,
由S=1×2+2×22+…+(n﹣1)2n﹣1,
则2S=1×22+2×23+…+(n﹣1)2n,
∴﹣S=1×2+1×22+…+2n﹣1﹣(n﹣1)2n= ﹣(n﹣1)2n,
∴S=(2﹣n)2n﹣2
∴T=(2﹣n)2n﹣2+n
【解析】(1)利用裂项法求和,结合S2= ,S3= ,即可求数列{an}的通项;(2)先化简,再利用错位相减法,即可得出结论.
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=0处的切线为l:4x+y﹣5=0,若x=﹣2时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.
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【题目】某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段。现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.
分数(分数段) | 频数(人数) | 频率 |
[60,70) | ① | 0.16 |
[70,80) | 22 | ② |
[80,90) | 14 | 0.28 |
[90,100] | ③ | ④ |
合 计 | 50 | 1 |
(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);
(2)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答4道小题,答对2道题就终止答题,并获得一等奖。如果前三道题都答错,就不再答第四题。某同学进入决赛,每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同.
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率;
②记该同学决赛中答题个数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】某公司一年经销某种商品,年销售量400吨,每吨进价5万元,每吨销售价8万元.全年进货若干次,每次都购买x吨,运费为每次2万元,一年的总存储费用为2x万元.
(1)求该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系;
(2)要使一年的总利润最大,则每次购买量为多少?并求出最大利润.
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【题目】如图,P是双曲线 (a>0,b>0,xy≠0)上的动点,F1,F2是双曲线的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且.某同学用以下方法研究|OM|:延长F2M交PF1于点N,可知△PNF2为等腰三角形,且M为F2N的中点,得|OM|=|NF1|=…=a。类似地:P是椭圆 (a>b>0,xy≠0)上的动点,F1,F2是椭圆的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且,则|OM|的取值范围是________.
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【题目】已知F1、F2分别是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点O为圆心,OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当△PF1F2的面积等于a2时,双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.2
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