【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=0处的切线为l:4x+y﹣5=0,若x=﹣2时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.
【答案】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得:f′(x)=3x2+2ax+b,
当x=0时,切线l的斜率为﹣4,可得b=﹣4①,
当x=﹣2时,y=f(x)有极值,得f′(﹣2)=0,
∴12﹣4a+b=0②,
由①②得:a=2,b=﹣4,
由于切点的横坐标为x=0,
∴f(0)=5,∴c=5,
∴a=2,b=﹣4,c=5.
(2)由(1)得f(x)=x3+2x2﹣4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x﹣4,
令f′(x)=0,解得:x=﹣2或x=,
当x变化时,y′,y的值及变化如下表:
x | ﹣3 | (﹣3,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,) | (,1) | 1 | |
y′ | + | 0 | ﹣ | 0 | + | ||
y | 8 | 递增 | 13 | 递减 | 递增 | 4 |
∴y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值为13,最小值为.
【解析】(1)先求出函数的导数,得到关于a,b,c的不等式组,解出即可;
(2)先求出函数的表达式,求出函数f(x)的导数,从而求出函数的单调区间,函数的最值.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】(选修4—4;坐标系与参数方程)已知曲线的极坐标方程是,曲线经过平移变换得到曲线;以极点为原点,极轴为轴正方向建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是 (为参数).
(1)求曲线, 的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线交于、两点,点的直角坐标为(2,1),若,求直线l的普通方程.
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【题目】目前,成都市B档出租车的计价标准是:路程2km以内(含2km)按起步价8元收取,超过2km后的路程按1.9元/km收取,但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).(现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑)
(1)将乘客搭乘一次B档出租车的费用f(x)(元)表示为行程x(0<x≤60,单位:km)的分段函数;
(2)某乘客行程为16km,他准备先乘一辆B档出租车行驶8km,然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱?
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【题目】正三棱锥P﹣ABC中,CM=2PM,CN=2NB,对于以下结论:
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是( , π);
②若MN⊥AM,则PC与平面PAB所成角的大小为;
③过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条;
④若二面角B﹣PA﹣C大小为 , 则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条.
正确的序号是
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补全函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)(x∈R)的递增区间;
(2)写出函数f(x)(x∈R)的值域;
(3)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.
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【题目】三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教材中利用该图作为“( )”的几何解释.
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立
D.如果a>b,c>0那么ac>bc
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【题目】已知点(x,y)是区域 , (n∈N*)内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn . 若数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,且点(Sn , an)在直线zn=x+y上.
证明:数列{an﹣2}为等比数列
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【题目】已知等差数列{an}的各项均为正数,且Sn= + +…+ ,S2= ,S3= .设[x]表示不大于x的最大整数(如[2.10]=2,[0.9]=0).
(1)试求数列{an}的通项;
(2)求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2( ﹣1)]+[log2( )]关于n的表达式.
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