Question

【题目】已知点（x，y）是区域 ， （n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn ． 若数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且点（Sn ， an）在直线zn=x+y上．
证明：数列{an﹣2}为等比数列

Answer 1

【答案】解：∵目标函数对应直线l：z=x+y，
区域，（n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，
∴当x=2n，y=0时，z的最大值zn=2n
∵（Sn ， an）在直线zn=x+y上
∴zn=Sn+an ， 可得Sn=2n﹣an ，
当n≥2时，可得an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣an）﹣[2（n﹣1）﹣an﹣1]
化简整理，得2an=an﹣1+2
因此，an﹣2=（an﹣1+2）﹣2=（an﹣1﹣2）
当n=1时，an﹣2=a1﹣2=﹣1
∴数列{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；
【解析】根据线性规划原理，可得z的最大值zn=2n，从而得到Sn=2n﹣an ． 运用数列前n项和Sn与an的关系，算出2an=an﹣1+2，由此代入数列{an﹣2}再化简整理，即可得到{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比关系的确定的相关知识，掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断．