【题目】已知函数 ,
(Ⅰ) 证明f(x)在[1,+∞)上是增函数;
(Ⅱ) 求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
【答案】(I)证明:在[1,+∞)上任取x1 , x2 , 且x1<x2
=
∵x1<x2∴x1﹣x2<0
∵x1∈[1,+∞),x2∈[1,+∞)∴x1x2﹣1>0
∴f(x1)﹣f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
故f(x)在[1,+∞)上是增函数
(II)解:由(I)知:
f(x)在[1,4]上是增函数
∴当x=1时,有最小值2;
当x=4时,有最大值
【解析】(I)用单调性定义证明,先任取两个变量且界定大小,再作差变形看符号.
(II)由(I)知f(x)在[1,+∞)上是增函数,可知在[1,4]也是增函数,则当x=1时,取得最小值,当x=4时,取得最大值.
【考点精析】本题主要考查了函数的单调性的相关知识点,需要掌握注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种才能正确解答此题.
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【题目】设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(﹣3)=0,则(x﹣1)f(x)<0的解集是( )
A.{x|﹣3<x<0或1<x<3}
B.{x|1<x<3}
C.{x|x>3或x<﹣3}
D.{x|x<﹣3或x>1}
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【题目】如图,已知多面体的底面是边长为2的正方形, 底面, ,且.
(Ⅰ)记线段的中点为,在平面内过点作一条直线与平面平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=0处的切线为l:4x+y﹣5=0,若x=﹣2时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.
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【题目】关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请200名同学,每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=56,那么可以估计__________.(用分数表示)
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【题目】给出50个数,1,2,4,7,11,…,其规律是:第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,…,以此类推.要求计算这50个数的和.将右边给出的程序框图补充完整,
(1)___________________ (2)_______________________
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【题目】某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段。现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.
分数(分数段) | 频数(人数) | 频率 |
[60,70) | ① | 0.16 |
[70,80) | 22 | ② |
[80,90) | 14 | 0.28 |
[90,100] | ③ | ④ |
合 计 | 50 | 1 |
(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);
(2)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答4道小题,答对2道题就终止答题,并获得一等奖。如果前三道题都答错,就不再答第四题。某同学进入决赛,每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同.
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率;
②记该同学决赛中答题个数为,求的分布列及数学期望.
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