Question

【题目】设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解集是（ ）
A.{x|﹣3＜x＜0或1＜x＜3}
B.{x|1＜x＜3}
C.{x|x＞3或x＜﹣3}
D.{x|x＜﹣3或x＞1}

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，
∵f（﹣3）=﹣f（3）=0，
∴f（3）=0．
则当﹣3＜x＜0或x＞3时，f（x）＞0，
当0＜x＜3或x＜﹣3时，f（x）＜0，
则不等式（x﹣1）f（x）＜0等价为：
①或 ，②
由①得 ，即 解得1＜x＜3．
由②得 即 解得﹣3＜x＜0．
综上：1＜x＜3或﹣3＜x＜0．
故不等式的解集为：（1，3）∪（﹣3，0）．

【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．