Question

【题目】函数f（x）=x2﹣mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值记为g（m）
（1）若0＜m≤4，求函数g（m）的解析式；
（2）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）= ．

当0＜m＜4时， ，∴函数f（x）在 上时单调递减，在 上单调递增．

∴当x= 时，函数f（x）取得最小值， =﹣ ．

当m=4时， =2，函数f（x）在[0，2]内单调递减，∴当x= =2时，函数f（x）取得最小值， =﹣ =﹣1．

综上可得：g（m）=﹣ ．

（2）解：由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）= ，∵h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，

∴h（x）= ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

∵h（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴|t|＜4，

解得﹣4＜t＜4，且t≠0．

∴t的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）

【解析】（1）f（x）= ．由0＜m≤4，可得 ，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．（2）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）= ，由于h（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，可得h（x）= ，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上单调递减，可得|t|＜4，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇，以及对二次函数的性质的理解，了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．