Question

8．已知函数y=$\frac{2-x}{{ax}^{2}-（a-3）x+1}$的定义域是R，则实数α的范围是（1，9）．

Answer 1

分析 把函数y=$\frac{2-x}{{ax}^{2}-（a-3）x+1}$的定义域是R转化为对任意实数x，ax²-（a-3）x+1≠0恒成立，然后分二次项系数为0和不为0分类求解a的范围．

解答 解：∵函数y=$\frac{2-x}{{ax}^{2}-（a-3）x+1}$的定义域是R，
∴对任意实数x，ax²-（a-3）x+1≠0恒成立，
当a=0时，ax²-（a-3）x+1=3x+1，x=$-\frac{1}{3}$时为0，不满足题意；
当a≠0时，由△=[-（a-3）]²-4a=a²-10a+9＜0，解得：1＜a＜9．
∴实数a的范围是（1，9）．
故答案为：（1，9）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．